하나의 운동을 두 방향으로 나누는 이유
초기 속력 v₀로 수평선 위 각도 θ를 향해 발사하면 수평 속도는 v₀cosθ, 위쪽 초기 속도는 v₀sinθ입니다. 수평 방향에 힘이 없으므로 수평 속도는 일정합니다. 위쪽을 양으로 정한 연직 방향에는 가속도 −g가 작용합니다.
두 방향은 같은 시간 t를 공유합니다. 가로로 얼마나 나아갔는지와 얼마나 높이 있는지를 각각 계산한 뒤 같은 시각의 좌표를 짝지으면 곡선 궤적이 됩니다. 최고점에서는 연직 속도만 0이며 수평 속도까지 사라지는 것은 아닙니다.
왜 같은 높이에서는 45도가 가장 멀리 갈까요?
발사점과 도착점 높이가 같으면 비행 시간은 2v₀sinθ/g이고 사거리는 R = v₀²sin(2θ)/g입니다. 초기 속력이 같을 때 sin(2θ)가 최대인 45°에서 가장 멀리 갑니다. 30°와 60°처럼 합이 90°인 각도는 같은 사거리를 만들지만 최고점과 비행 시간은 다릅니다.
발사점이 지면보다 높으면 낮은 각도로도 더 오래 날 수 있습니다. 이때 도착 조건 y = 0을 풀어 시간을 구해야 하며 최적 각도를 항상 45°라고 단정하면 안 됩니다. 공기 저항이나 공의 회전이 있어도 이상적인 사거리 공식에서 벗어납니다.
그래프에서는 무엇을 읽어야 할까요?
위치의 시간 그래프에서는 수평 위치가 직선으로 증가하고 연직 위치는 아래로 열린 포물선으로 나타납니다. 속도 그래프에서는 수평 성분이 일정하고 연직 성분은 기울기 −g의 직선입니다.
사거리만 비교하면 운동의 차이를 놓치기 쉽습니다. 같은 표적에 도착하더라도 높은 각도의 공은 더 높이 올라가 더 오래 날아갑니다. 각도를 바꿀 때는 초기 속력과 발사 높이를 일정하게 유지해 원인을 구분합니다.
핵심 관계와 기호
x = v₀cosθ · t · y = h + v₀sinθ · t − ½gt² · R = v₀²sin(2θ)/g (같은 높이)
| 기호 | 뜻 | 단위 |
|---|---|---|
| v₀ | 초기 속력 | m/s |
| θ | 수평선 기준 발사 각도 | ° 또는 rad |
| h | 도착 지면 기준 발사 높이 | m |
| R | 수평 사거리 | m |
예시로 확인하기
같은 높이에서 14 m/s로 45° 발사하면 사거리는 얼마일까요?
g = 9.8 m/s²에서 R = 14² × sin90° / 9.8 = 20 m입니다. 초기 속력을 두 배로 올리면 같은 각도에서 사거리는 네 배가 됩니다.
자주 헷갈리는 점
- 최고점에서도 중력과 중력 가속도는 작용합니다.
- 45° 최대 사거리는 같은 출발·도착 높이와 공기 저항 무시라는 조건에서의 결과입니다.