열전도와 열확산: 열전도율·정상 상태·막대 온도 분포

열전도율과 열확산율은 다릅니다

균일한 막대의 열전달률은 푸리에 법칙으로 설명할 수 있습니다. 온도 기울기의 크기가 클수록, 단면적이 클수록, 열전도율 k가 클수록 더 큰 열전달률이 나타납니다. 방향은 온도가 낮아지는 쪽입니다.

열확산율 α = k/(ρc)는 온도 분포가 얼마나 빨리 변하는지와 관련됩니다. ρ는 밀도, c는 비열입니다. 열전도율만 크다고 온도 변화가 무조건 같은 비율로 빨라지는 것은 아닙니다. 물질이 단위 부피당 얼마나 많은 에너지를 저장하는지도 함께 보아야 합니다.

균일한 막대의 양끝 온도를 일정하게 유지하고 측면 열손실이 없으면 충분한 시간이 지난 뒤 온도 분포가 직선에 가까워집니다. 각 지점의 온도는 더 변하지 않지만 뜨거운 저장고에서 차가운 저장고로 열은 계속 흐릅니다.

이 상태는 온도가 모든 곳에서 같아 열 흐름이 없는 열평형과 구분되는 정상 상태입니다. 같은 양끝 온도에서는 최종 온도 직선의 모양이 열전도율과 무관할 수 있어도, 그 상태의 열전달률은 열전도율에 따라 달라집니다.

온도 분포가 자리 잡는 대표적인 시간 규모는 L²/α에 비례합니다. 같은 재질에서 길이를 두 배로 하면 대표 시간은 약 네 배가 됩니다. 다만 특정 온도나 오차 범위에 도달하는 정확한 시간은 경계 조건과 초기 분포에 따라 다릅니다.

실험은 양끝을 일정한 온도로 유지한 1차원 막대를 다룹니다. 측면의 대류와 복사, 접촉 저항, 재질의 온도 의존성을 생략하고 물리 시간을 빠르게 재생합니다. 같은 화면 재생 시간만 보지 말고 표시된 물리 시간과 온도 분포를 비교합니다.

Q̇ = −kA dT/dx · α = k/(ρc) · ∂T/∂t = α∂²T/∂x² · 시간 규모 ∝ L²/α

측면 손실이 없고 열전도율이 일정하면 선형 분포이므로 중점은 50 °C입니다. 열확산율이 다른 막대도 같은 경계 조건이면 최종 중점 온도는 같을 수 있지만 도달하는 빠르기와 열전달률은 다를 수 있습니다.

양끝 온도를 고정하고 재질과 길이를 각각 바꾸어 과도 분포와 최종 분포를 비교하세요.

같은 에너지에서의 온도 상승과 공간을 따른 열전달을 구분해 보세요.