단진자 주기 공식: 줄 길이·중력·진폭과 소각 근사

주기는 어느 순간부터 어느 순간까지일까요?

주기 T는 같은 위치와 같은 운동 방향으로 되돌아오는 데 걸리는 시간입니다. 왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 가는 시간은 반 주기입니다. 가운데를 연속해서 지나는 시간도 방향이 반대이면 반 주기이므로, 같은 방향 통과끼리 비교해야 합니다.

여러 번 왕복하는 시간을 재어 왕복 횟수로 나누면 한 번만 잴 때보다 측정 시점의 오차를 줄일 수 있습니다. 실험에서도 3주기의 총시간과 평균 주기를 함께 살펴보면 길이에 따른 차이를 읽기 쉽습니다.

작은 진폭에서 T = 2π√(L/g)입니다. 길이 L을 네 배로 만들면 주기는 두 배가 되고, g가 작아지면 주기가 길어집니다. 추의 질량은 이 식에 들어가지 않습니다. 같은 길이에서 무거운 추를 매달았다고 주기가 길어지지는 않습니다.

이 식은 sinθ를 θ로 근사한 결과입니다. 각도를 라디안으로 나타낼 때 작은 θ에 대해 두 값이 비슷합니다. 크게 흔들면 이 근사가 어긋나 실제 주기가 공식의 예측보다 길어지며 진폭의 영향도 나타납니다.

마찰과 공기 저항이 없다면 진자의 역학적 에너지는 일정합니다. 양 끝에서는 속력이 0이고 중력 위치에너지가 크며, 가장 낮은 점에서는 속력이 최대입니다. 줄의 장력은 순간 운동 방향에 수직이므로 이상적인 고정 길이 진자에서 일을 하지 않습니다.

실제 진자는 저항 때문에 진폭이 점차 줄어듭니다. 줄의 질량, 축 마찰, 추의 크기까지 포함하면 단진자 모형과 차이가 생깁니다. 주기 공식을 적용하기 전에 작은 진폭과 일정한 줄 길이라는 조건을 확인합니다.

T₀ = 2π√(L/g) (작은 진폭) · θ″ = −(g/L)sinθ

g = 9.8 m/s²이면 T₀ = 2π√(1/9.8) ≈ 2.01 s입니다. 길이를 0.25 m로 줄이면 주기는 약 1.00 s가 됩니다. 같은 길이에서 질량만 바꾸어도 이 예측은 같습니다.

작은 진폭에서 길이를 네 배로 바꾼 뒤, 같은 길이에서 10°와 60°의 주기를 비교하세요.