정지해 보이는 것은 파형의 무늬입니다
정상파의 마디는 모든 시각에 변위가 0인 지점입니다. 배는 진동 진폭이 최대인 지점이며 계속 위아래로 움직입니다. 어느 순간 줄 전체가 평형 위치를 지날 수 있지만 그 순간의 모든 점이 마디인 것은 아닙니다.
이웃한 두 마디 사이는 λ/2이고 마디와 바로 옆 배 사이는 λ/4입니다. 진행파에서 봉우리가 옆으로 움직이는 모습과 달리 정상파에서는 마디와 배의 위치가 고정됩니다. 같은 마디 사이 구간은 같은 위상으로 진동하고 인접 구간은 반대 위상입니다.
고정된 줄에는 어떤 파장만 들어갈까요?
양끝이 고정된 줄은 두 끝이 모두 마디여야 합니다. 길이 L 안에 n개의 반파장이 들어가므로 L = nλₙ/2이고 λₙ = 2L/n입니다. 파동 속력이 v이면 고유 진동수는 fₙ = nv/(2L)입니다.
n = 1인 기본 모드에는 배가 하나 있고, n = 2에는 배가 두 개 있습니다. 양끝 고정 줄에서 n번째 모드의 배 개수는 n, 양끝을 포함한 마디 개수는 n + 1입니다. 열린 관과 닫힌 관 등 다른 경계 조건에는 이 식을 그대로 적용하지 않습니다.
정상파와 공명은 어떻게 연결될까요?
외부에서 줄을 흔드는 진동수가 고유 진동수 부근이면 해당 모드의 응답이 커질 수 있습니다. 정상파는 공간적인 진동 형태를, 공명은 구동에 대한 응답이 커지는 현상을 설명합니다. 두 말을 완전히 같은 뜻으로 쓰지는 않습니다.
실험은 선택한 한 모드의 정상 상태 응답을 보여 줍니다. 실제 줄에서는 구동 위치에 따라 잘 나타나는 모드가 달라지고 여러 모드가 동시에 섞일 수도 있습니다. 감쇠가 커지면 응답의 크기와 공명의 뚜렷함도 달라집니다.
핵심 관계와 기호
L = nλₙ/2 · λₙ = 2L/n · fₙ = nv/(2L), n = 1, 2, 3, …
| 기호 | 뜻 | 단위 |
|---|---|---|
| L | 줄의 길이 | m |
| n | 모드 번호 | 양의 정수 |
| v | 파동 전달 속력 | m/s |
| fₙ | n번째 고유 진동수 | Hz |
예시로 확인하기
길이 1 m, 파동 속력 10 m/s인 양끝 고정 줄의 첫 두 모드는?
기본 진동수는 5 Hz이고 파장은 2 m입니다. 두 번째 모드는 10 Hz, 파장 1 m이며 배가 두 개와 마디가 세 개 생깁니다.
자주 헷갈리는 점
- 배는 항상 가장 위에 있는 점이 아니라 진동 진폭이 가장 큰 위치입니다.
- 마디와 바로 옆 배의 간격은 반파장이 아니라 ¼파장입니다.